عن الحلول الدورية للمعادلات التفاضلية غير الخطية من الرتبة الثانية
Title On the periodic solutions of non-linear second order differential equations
الباحث الرئيس محمد ابراهيم عبدالله يماني
التخصص: الرياضيات
المستخلص: الهــدف الأساسي من هــذه الرسالـــة هو الحصول على الصيغة التحليلية للحلول الدورية لبعض المعــادلات التفاضليـة غير الخطية من الدرجة الثانية والتي تمثل بعض المشاكل الفيزيائية باستخدام طرق تحليليــة وتقريبيـة مختلفة. يتم توضيح المقارنات بين الحلول التحليليه التى تم الحصول عليها مع الحل العددي من خلال طريقة رونج كوتا من الرتبة الرابعة وأيضا غيرها من الطرق التقريبية المعروفة مسبقا من خلال التطبيقات المختلفة.
في هــذه الأطروحــة، نقــدم بعض الأفكار الأساسية للطرق التحليلية المختلفة وذلك لحـل بعض المعـادلات التفاضلية غير الخطية التي لها تطبيقات مهمة في مختلف فروع العلم. ثم قمنا بمقارنة النتائج التي تم الحصول عليها من هذه الطـرق مع الطرق المعروفة والموجودة في الادبيات والحلول العددية. ومن مميزات الطريقتين المستخدمتين في الرسالة أنهما لا يتطلبان معاملاً صغيراً في المعادلة حسب ما تحتاج إليه تقنية الاضطراب، ويستخدمان لحل أنواع كثيرة من المعادلات غير الخطية بسهولة وفعالية ودقة وتكون الحلول الناتجة متفقه مع الحلول المضبوطه.
والرسالة بصدد الحديث تتكون من ثلاثة فصول على النحو التالي:-
الفصل الأول: عبارة عن مقدمة عامة وإظهار التطورات الأخيرة لبعض الطرق التحليلية التقريبية المستخدمة لحل المعادلات التفاضلية للمذبذبات غير الخطيه.
الفصل الثانى: يبحث هذا الفصل لأول مرة في تطبيق طريقة التكرار المعدلة لتحديد الحلول التقريبية لمعادلات جيرك من الدرجة الثالثة التي تصف بعض الظواهر الفيزيائية. توضح الدراسة الحالية الدقة الكبيرة للطريقة المستخدمة مقارنة بالطرق التحليلية السابقة المطبقة في ظواهر هندسية مختلفة ومعروفة. بعد ذلك، تتم مقارنة النتائج الحالية بالحلول الدقيقة والتحليلية التي تم الحصول عليها من الدراسات السابقة. تعطي الحلول الحالية نتائج أكثر دقة من الطرق الأخرى العروفة. تظهر نسب الخطأ الناتجة عن الطرق المقدمة إتفاقًا ممتازًا مع الحلول التحليلية وتوضح تقاربًا سريعًا جدًا وأكثر دقة من الطرق المذكورة. يمكن تطبيق التقنية الحالية على نطاق واسع على مشاكل مختلفة تنشأ عن العلوم والهندسة.
الفصل الثالث: في هذه الفصل، نتناول العديد من التحديات العلمية والتكنولوجية باستخدام نهج غير مضطرب جديد (NPA)، مما يبسط وقت المعالجة مقارنة بالطرق التقليدية. يحول النهج المقترح المعادلات التفاضلية العادية غير الخطية إلى معادلات خطية، تشبه الحركة التوافقية البسيطة، مما ينتج عنه تردد جديد. تعطي هذه الطريقة نتائج دقيقة للغاية، متجاوزة منهجيات التقريب المعروفة، كما تم التحقق من صحتها من خلال المقارنات العددية في البرامج الرياضية. يدعم التطابق بين اختبارات الحل العددي والتنبؤات النظرية نتائجنا بشكل أكبر. في حين تعتمد طرق الاضطراب الكلاسيكية على توسعات تايلور لتبسيط قوى الاستعادة، فإن NPA تمكن أيضًا من تحليل الاستقرار. وبالتالي، لتحليل تقريبات المذبذبات غير الخطية للغاية في البرامج الرياضية، تعمل NPA كأداة أكثر موثوقية.
Abstract: The main objective of this thesis is to study the periodic solutions for some physical systems, in which the mathematical formulation of these systems leads to a certain set of nonlinear differential equations of the second order.
In this thesis, we introduce some basic ideas of the Modified Iteration Approach (MIA) and Non-Perturbative Approach (NPA) to solve some nonlinear differential equations such as: Jerk function containing time's velocity times acceleration and velocity, Jerk function containing velocity times acceleration-squared, and velocity, a simple pendulum, a system composed of a mass on a spring with cubic and quantic nonlinearity. Then we compare the obtained results from these methods with the block method, harmonic balance method, homotopy perturbation method, Linstedt-Poincare methods, residue harmonic balance method, multiple scales Lindstedt-Poincare, modified harmonic balance method, differential transform method, global error minimization method and numerical solutions.
The advantage of the two methods (modified iteration method and Non-Perturbative Approach) used in this thesis, it does not require a small parameter in an equation as perturbation technique needs. The modified iteration approach and non-perturbative approach are used to easily, effectively, and accurately solve a large class of nonlinear problems with approximations that converge rapidly to an accurate solution.