بعض التوصيفات للمنحنيات المزدوجة في الفراغ المزدوج ثلاثي البعد
Title Some characterizations of dual curves in dual 3-space D^3
الباحث الرئيس محمد خليفه عبدالوهاب سعد
الباحثون المشاركون
التخصص: الرياضيات
التخصص الدقيق: الهندسة التفاضلية
المستخلص: في هذه الدراسة تعرضنا لنوع هام من المنحنيات المزدوجة Dual curves في الفراغ المزدوج ثلاثي البعد Dual 3-space والذي يعبر عن السطح المسطر في الفراغ الإقليدي ثلاثي البعد وهذا السطح يتم إنشاؤه بواسطة خط مستقيم يتحرك على طول منحنى في الفراغ.
ولقد وجدنا أن معظم الباحثين يركزون على اختيار الفراغات العادية مثل الفراغ الإقليدي ثلاثي الأبعاد في دراسة المنحنيات والسطوح، لكن التطور المستمر في علوم الفيزياء والطب والأجهزة المختلفة يتطلب دراسات في فراغات أخري مختلفة مثل الفراغات المزدوجة Dual spaces محل الدراسة وفراغ مينكوفيسكي Minkowski وفراغ جاليليو وذلك لكثرة تطبيقاتهم في الحياة العملية.
وبناء على ما تم من دراسات في هذا الموضوع من قبل الباحثين في الآونة الأخيرة، فان المنحني المزدوج المقوم Rectifying dual curve لم يتم فحصه من حيث العلاقة بين الإنحناء والالتواء له في صورة معادلة تفاضلية يمكن حلها ولذلك قمنا في هذا البحث بدراسة الالتواء والانحناء لأي منحنى مقوم مزدوج وتوصلنا إلى أنه عبارة عن دالة خطية غير ثابتة بالنسبة الي طول القوس المزدوج، ثم قمنا بإنشاء معادلة تفاضلية مزدوجة من الدرجة الثالثة لكل منحنى مزدوج. وعليه، فإن العديد من الخصائص المعروفة للمنحنيات الكروية المزدوجة والعادية والمعدلة هي نتائج لهذه المعادلة التفاضلية.
لقد تم الحصول على بعض النتائج الهامة في صورة نظريات والتي من خلالها أثبتنا توصيفًا جديدًا للمنحنيات الكروية المزدوجة طبقا لمتجه داربو Darboux vector.
أخيرًا، إن النتائج المقدمة في هذه الدراسة لها أهمية كبيرة في النمذجة الرياضية، والرسومات بمساعدة الحاسب والهندسة CAGD ويمكن الاستفادة منها في العديد من المنشآت الصناعية التي تعتمد على التصميم بشكل أساسي كما هو الحال في تصميم المباني الجاهزة.
Abstract: In this study, we presented an important type of dual curves in the dual 3-space, which expresses the ruled surface in the three-dimensional Euclidean space and this surface is created by a straight line moving along a curve in the space.
We have found that most researchers focus on choosing regular spaces such as the three-dimensional Euclidean space in the study of curves and surfaces, but the continuous development in the sciences of physics, medicine and various devices requires studies in various other spaces such as the dual space under this study, Minkowski space and Galilean space due to the large number of their applications in practical life.
Based on recent studies on this topic by researchers, the rectifying dual curve has not been examined in terms of the relationship between its curvature and torsion in the form of a differential equation that can be solved. Therefore, in this study we investigate the torsion and curvature of dual rectifying curve. We found that, it is a non-constant linear function with respect to the length of the dual arc, then we create a third-degree dual differential equation for each dual curve. Accordingly, many of the known properties of normal and modified dual spherical curves are results of this differential equation.
Some important results have been obtained like propositions and theories, through which we prove a new characterization of spherical dual curves according to the Darboux vector.
Finally, the results presented in this study are of great importance in mathematical modeling, CAD and CAGD and can be used in many industrial facilities that depend on design mainly as it is the case in prefabricated building design.